Вписанная и описанная окружности треугольника

11 заданий

В любой треугольник можно вписать окружность (её центр — точка пересечения биссектрис) и около любого описать (центр — точка пересечения серединных перпендикуляров). Радиусы связаны с площадью, сторонами и углами формулами, которые нужно уметь выбирать.

Формулы. \[r = \dfrac{S}{p}, \qquad R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{a}{2\sin\alpha}.\] Прямоугольный треугольник: \(R = \dfrac{c}{2}\) (центр — середина гипотенузы), \(r = \dfrac{a + b - c}{2}\). Равносторонний: \(R = \dfrac{a\sqrt3}{3}\), \(r = \dfrac{a\sqrt3}{6}\), \(R = 2r\). Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, на гипотенузе прямоугольного, вне тупоугольного. Точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки \(p - b\) и \(p - c\).

Как это работает. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдём радиусы вписанной и описанной окружностей.

Гипотенуза 10. \(R = \dfrac{10}{2} = 5\).
\(r = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = 2\). Проверка через \(S = pr\): \(S = 24\), \(p = 12\), \(r = 2\).
Ответ: \(r = 2\), \(R = 5\).

Ещё пример. Сторона треугольника равна 12, противолежащий угол \(30^\circ\). Найдите радиус описанной окружности. В треугольнике со сторонами 13, 14, 15 найдите радиус описанной окружности.
Решение. \(R = \dfrac{12}{2\sin 30^\circ} = 12\). Для 13-14-15: \(S = 84\), \(R = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{2730}{336} = 8{,}125\). Ответ: 12; 8,125.

Лайфхак. Радиус описанной окружности почти всегда ищут через теорему синусов \(R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\): нужна одна сторона и противолежащий угол. Радиус вписанной — через площадь и полупериметр. В прямоугольном треугольнике — две короткие формулы выше.

Типичная ошибка. Для вписанной окружности пишут \(r = \dfrac{S}{P}\) с периметром вместо полупериметра — ответ вдвое меньше верного.

На ЕГЭ. Задание 1: «Катеты 6 и 8; найдите радиус описанной окружности» (5), «радиус вписанной» (2); «сторона 6, противолежащий угол \(30^\circ\); найдите \(R\)» (6). Задание 18: расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей \(d^2 = R^2 - 2Rr\) (формула Эйлера).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward