Касательная, хорды и секущие

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, а отрезки касательных из одной точки равны — это даёт прямоугольные треугольники и равные отрезки. Пересекающиеся хорды и секущие связаны равенством произведений отрезков.

Как это работает. Из точки \(P\) к окружности проведены касательная \(PT = 6\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\), причём \(PA = 4\). Найдём \(AB\).

1. \(PT^2 = PA \cdot PB\): \(36 = 4 \cdot PB\), \(PB = 9\).
2. \(AB = PB - PA = 9 - 4 = 5\).
3. Ответ: 5.

Ещё пример. Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\); \(AM = 3\), \(MB = 8\), \(CM = 4\). Найдите \(MD\). Угол между касательной и хордой равен \(50^\circ\); найдите вписанный угол, опирающийся на эту хорду (с другой стороны).
Решение. \(3 \cdot 8 = 4 \cdot MD\), \(MD = 6\). Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на хорду: \(50^\circ\). Ответ: 6; \(50^\circ\).