Окружность: центральные и вписанные углы
Угол с вершиной в центре окружности измеряется дугой, на которую опирается; угол с вершиной на окружности — половиной дуги. Отсюда следуют все свойства вписанных углов, включая знаменитый прямой угол, опирающийся на диаметр.
Факты. Центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги: \(\angle ACB = \dfrac12 \angle AOB\). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу, равен \(30^\circ\). Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключённых между ними; угол между секущими — полуразности дуг.
Как это работает. Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности с центром \(O\); угол \(AOB\) равен \(140^\circ\). Найдём угол \(ACB\), если точка \(C\) лежит на большей дуге \(AB\), и если на меньшей.
- \(C\) на большей дуге: вписанный угол опирается на дугу \(140^\circ\): \(\angle ACB = 70^\circ\).
- \(C\) на меньшей дуге: опирается на дугу \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\): \(\angle ACB = 110^\circ\).
- Сумма двух ответов \(180^\circ\): противоположные углы вписанного четырёхугольника. Ответ: \(70^\circ\) или \(110^\circ\).
Ещё пример. Треугольник \(ABC\) вписан в окружность, \(AB\) — диаметр, \(\angle A = 35^\circ\). Найдите угол \(B\).
Решение. Угол \(C\) опирается на диаметр — прямой; \(\angle B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Ответ: \(55^\circ\).
Лайфхак. Решая задачу на углы в окружности, переводите каждый угол в дуги: записывайте над дугами их градусные меры и складывайте до \(360^\circ\). Углы тогда получаются автоматически как половины дуг.
Типичная ошибка. Считают вписанный угол равным центральному или путают, на какую дугу он опирается. Вписанный угол «смотрит» на дугу, не содержащую его вершину.
На ЕГЭ. Задание 1: «Центральный угол на \(45^\circ\) больше вписанного, опирающегося на ту же дугу; найдите вписанный угол» — ответ 45. Задание 18: равные вписанные углы — ключ к доказательству подобия и вписанности.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward