Подобие треугольников

11 заданий

Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны. Коэффициент подобия \(k\) — отношение соответственных сторон; периметры относятся как \(k\), площади — как \(k^2\). Подобие возникает всякий раз, когда прямая параллельна стороне треугольника или две прямые пересекаются.

Признаки подобия. По двум углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам. Типовые конфигурации: прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник (\(k = \dfrac{AM}{AB}\)); высота из прямого угла делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному; вертикальные углы в «бабочке» из двух пересекающихся отрезков. \(\dfrac{S_1}{S_2} = k^2\), \(\dfrac{P_1}{P_2} = k\), соответственные медианы, высоты, биссектрисы относятся как \(k\).

Как это работает. Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает \(AB\) в точке \(M\) и \(BC\) в точке \(N\), причём \(BM = 4\), \(MA = 6\), \(AC = 15\). Найдём \(MN\) и отношение площадей треугольников \(MBN\) и \(ABC\).

Треугольники \(MBN\) и \(ABC\) подобны (общий угол \(B\), соответственные углы при параллельных прямых); \(k = \dfrac{BM}{BA} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\).
\(MN = k \cdot AC = 0{,}4 \cdot 15 = 6\).
\(\dfrac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = 0{,}16\). Ответ: 6; 0,16.

Ещё пример. Площади двух подобных треугольников равны 18 и 50. Периметр меньшего равен 24. Найдите периметр большего.
Решение. \(k^2 = \dfrac{50}{18} = \dfrac{25}{9}\), \(k = \dfrac53\); периметр большего \(24 \cdot \dfrac53 = 40\). Ответ: 40.

Лайфхак. Записывайте соответствие вершин в порядке равных углов: \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) означает \(M \leftrightarrow A\), \(B \leftrightarrow B\), \(N \leftrightarrow C\), и пропорция сторон читается по буквам: \(\dfrac{MB}{AB} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{MN}{AC}\).

Типичная ошибка. Берут \(k = \dfrac{BM}{MA} = \dfrac46\) вместо \(\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{4}{10}\). Коэффициент подобия — отношение целых соответственных сторон, а не отрезков одной стороны.

На ЕГЭ. Задание 1: «Прямая, параллельная стороне, отсекает треугольник…», отношение площадей подобных треугольников. Задание 18: доказательство подобия по двум углам — самый частый первый шаг.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward