Теоремы синусов и косинусов

11 заданий

Для непрямоугольного треугольника теорема Пифагора заменяется теоремой косинусов, а отношения сторон и углов связывает теорема синусов. Вместе они позволяют найти все элементы треугольника по трём данным.

Формулы. \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha; \qquad \dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R.\] Теорема косинусов: известны две стороны и угол между ними — находим третью сторону; известны три стороны — находим косинус любого угла: \(\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). Теорема синусов: сторона и противолежащий угол дают \(2R\) и остальные пары.

Теорема синусов и теорема косинусов: обозначения сторон и углов

Как это работает. В треугольнике две стороны равны 5 и 8, угол между ними \(60^\circ\). Найдём третью сторону и радиус описанной окружности.

Теорема косинусов: \(a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac12 = 89 - 40 = 49\), \(a = 7\).
Теорема синусов: \(2R = \dfrac{a}{\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\dfrac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt3}\), \(R = \dfrac{7}{\sqrt3} = \dfrac{7\sqrt3}{3}\).
Ответ: 7; \(\dfrac{7\sqrt3}{3}\).

Ещё пример. Стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Найдите косинус угла, лежащего против стороны 6.
Решение. \(\cos\gamma = \dfrac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \dfrac{5}{40} = 0{,}125\). Ответ: 0,125.

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 1). Две стороны треугольника равны 3 и 5, угол между ними \(120^\circ\). Найдите третью сторону.

Теорема косинусов: \(c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 120^\circ\). \(\cos 120^\circ = -0{,}5\), поэтому минус превращается в плюс: \(c^2 = 34 + 15 = 49\).
\(c = 7\).

Ответ: 7.

Задача 2 (задание 1). Сторона треугольника равна 8, противолежащий ей угол равен \(30^\circ\). Найдите радиус описанной окружности.

Теорема синусов: \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\).
\(2R = \dfrac{8}{0{,}5} = 16\), \(R = 8\).

Ответ: 8.

Лайфхак. Знак косинуса сразу говорит о виде угла: положительный — острый, нуль — прямой, отрицательный — тупой. Поэтому «определите вид треугольника по сторонам» решается одним вычислением для наибольшей стороны.

Типичная ошибка. В теореме косинусов ставят плюс перед удвоенным произведением или берут косинус не того угла. Угол в формуле — тот, что лежит против искомой стороны.

На ЕГЭ. Задание 1: «Две стороны треугольника равны 10 и 12, угол между ними \(120^\circ\); найдите третью сторону», «найдите радиус описанной окружности по стороне и углу». Задание 18: теорема косинусов — универсальный способ связать стороны.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward