Теоремы синусов и косинусов

Теорема косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\) — обобщение теоремы Пифагора; из неё \(\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), и по знаку косинуса видно, острый угол или тупой.

Теорема синусов: \(\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R\), где \(R\) — радиус описанной окружности. Отсюда \(a = 2R\sin\alpha\): сторона равна диаметру, умноженному на синус противолежащего угла.

Пример. В треугольнике две стороны равны 5 и 8, угол между ними \(60^\circ\). Найдите третью сторону.
Решение. \(c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac12 = 49\), \(c = 7\).

Пример. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 6\), \(\angle C = 30^\circ\). Найдите радиус описанной окружности.
Решение. \(2R = \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{6}{0{,}5} = 12\), \(R = 6\).

Пример. Стороны треугольника равны 7, 8 и 13. Найдите больший угол.
Решение. \(\cos\gamma = \dfrac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = -\dfrac12\), угол \(120^\circ\).