Окружность: углы, хорды, касательные

Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги (половине центрального угла на ту же дугу); вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

Отрезки хорд и секущих. Для хорд, пересекающихся в точке \(P\): \(AP \cdot PB = CP \cdot PD\). Для секущих из точки \(M\): \(MA \cdot MB = MC \cdot MD\); для касательной \(MT\) и секущей: \(MT^2 = MA \cdot MB\).

Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга, равен полусумме дуг, которые они высекают; угол между секущими, пересекающимися вне круга, — полуразности дуг.

Пример. Хорда \(AB\) стягивает дугу в \(100^\circ\). Найдите вписанный угол, опирающийся на эту хорду с большей дуги, и угол между хордой и касательной в точке \(A\).
Решение. Вписанный угол \(50^\circ\); угол между касательной и хордой — тоже \(50^\circ\) (половина дуги \(AB\)).

Пример. Из точки \(M\) вне окружности проведены касательная \(MT = 6\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\), \(MA = 4\). Найдите \(AB\).
Решение. \(MT^2 = MA \cdot MB\): \(36 = 4 \cdot MB\), \(MB = 9\), \(AB = 5\).