Вписанная и описанная окружности

Треугольник. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, \(r = \dfrac{S}{p}\); центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров, \(R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{a}{2\sin\alpha}\). У остроугольного треугольника центр описанной окружности внутри, у тупоугольного — снаружи, у прямоугольного — на середине гипотенузы. Точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\).

Правильный треугольник: \(R = \dfrac{a}{\sqrt3}\), \(r = \dfrac{a}{2\sqrt3}\), \(R = 2r\). Правильный шестиугольник: \(R = a\).

Четырёхугольник. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны \(180^\circ\). В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: \(a + c = b + d\). Площадь описанного многоугольника \(S = pr\).

Пример. Около трапеции описана окружность. Найдите её боковые стороны, если основания равны 10 и 4, а высота 4.
Решение. Вписанная в окружность трапеция равнобедренная; проекция боковой стороны на основание \(\dfrac{10 - 4}{2} = 3\), боковая сторона \(\sqrt{9 + 16} = 5\).

Пример. В четырёхугольник со сторонами 5, 7, 9 и \(x\) (в порядке обхода) вписана окружность. Найдите \(x\).
Решение. \(5 + 9 = 7 + x\), \(x = 7\).