Четырёхугольники и многоугольники
| Фигура | Свойства | Площадь |
|---|---|---|
| Параллелограмм | противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам; \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\) | \(S = ah = ab\sin\alpha = \dfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi\) |
| Ромб | все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам | \(S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = a^2\sin\alpha\) |
| Прямоугольник | диагонали равны; \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\) | \(S = ab\) |
| Трапеция | средняя линия \(\dfrac{a + b}{2}\); в равнобедренной диагонали равны, углы при основании равны | \(S = \dfrac{a + b}{2} h\) |
| Произвольный четырёхугольник | сумма углов \(360^\circ\) | \(S = \dfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi\) |
| Правильный \(n\)-угольник | угол \(\dfrac{180^\circ(n - 2)}{n}\); сумма углов выпуклого \(n\)-угольника \(180^\circ(n - 2)\) | \(S = pr\) |
В трапеции треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны с коэффициентом \(\dfrac{a}{b}\); треугольники при боковых сторонах равновелики. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен \(\dfrac{a - b}{2}\).
Пример. Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\) на стороне \(BC\), \(AM = 6\), \(DM = 8\). Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Биссектрисы соседних углов перпендикулярны (сумма углов \(A\) и \(D\) равна \(180^\circ\)), \(S_{AMD} = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24\). У треугольника \(AMD\) и параллелограмма общее основание \(AD\) и общая высота, поэтому \(S = 48\).
Пример. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 14, боковая сторона 5. Найдите площадь.
Решение. Проекция боковой стороны на большее основание \(\dfrac{14 - 6}{2} = 4\), высота \(\sqrt{25 - 16} = 3\), площадь \(\dfrac{6 + 14}{2} \cdot 3 = 30\).
Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward