Планиметрическая задача: доказательство и вычисление

Задание 18 состоит из двух пунктов: а) доказать утверждение, б) найти величину. План работы: 1) сделать большой аккуратный чертёж и отметить на нём все данные; 2) для пункта а) выписать, что дано и что нужно доказать, и искать связку: равные углы, вписанные четырёхугольники, подобные треугольники, свойства касательных; 3) в пункте б) можно использовать утверждение пункта а), даже если доказать его не удалось; 4) вычисления вести через подобие, теорему косинусов и площади.

Ключевые факты для доказательств: угол между касательной и хордой; равенство отрезков касательных; сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника; медиана к гипотенузе; биссектриса и вписанная окружность; средняя линия; равенство треугольников по двум сторонам и углу.

Пример. В треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\), \(H\) — их точка пересечения. а) Докажите, что точки \(A, C_1, A_1, C\) лежат на одной окружности. б) Найдите \(A_1C_1\), если \(AC = 10\), а угол \(B\) равен \(60^\circ\).
Решение. а) Углы \(AA_1C\) и \(AC_1C\) прямые и опираются на отрезок \(AC\) с одной стороны, значит, точки лежат на окружности с диаметром \(AC\). б) Треугольник \(A_1BC_1\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\cos B = \dfrac12\), поэтому \(A_1C_1 = 10 \cdot \dfrac12 = 5\).

Пример. Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), касается сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\) в точках \(K\), \(L\), \(M\). а) Докажите, что \(AK = p - BC\), где \(p\) — полупериметр. б) Найдите \(AK\), если \(AB = 13\), \(BC = 14\), \(AC = 15\).
Решение. а) Отрезки касательных равны: \(AK = AM = x\), \(BK = BL = y\), \(CL = CM = z\); \(x + y + z = p\), \(y + z = BC\), откуда \(x = p - BC\). б) \(p = 21\), \(AK = 21 - 14 = 7\).