Подобие и площадь треугольника
Подобие. Треугольники подобны по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Если коэффициент подобия \(k\), линейные элементы (стороны, высоты, медианы, радиусы) относятся как \(k\), площади — как \(k^2\). Прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник (теорема Фалеса и обобщённая теорема Фалеса о пропорциональных отрезках).
| Формула площади | Когда применять |
|---|---|
| \(S = \dfrac12 ah_a\) | известна сторона и высота к ней |
| \(S = \dfrac12 ab\sin\gamma\) | две стороны и угол между ними |
| \(S = pr\), \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\) | радиус вписанной окружности |
| \(S = \dfrac{abc}{4R}\) | радиус описанной окружности |
| \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\) | три стороны (формула Герона) |
Треугольники с общей высотой относятся по площади как основания; с общим углом — как произведения сторон, образующих угол: \(\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AM \cdot AK}{AB \cdot AC}\).
Пример. Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.
Решение. \(p = 21\), \(S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\).
Пример. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(AB\), точка \(K\) на \(AC\) делит её так, что \(AK : KC = 1 : 3\). Найдите отношение площадей треугольников \(AMK\) и \(ABC\).
Решение. \(\dfrac{AM}{AB} \cdot \dfrac{AK}{AC} = \dfrac12 \cdot \dfrac14 = \dfrac18\).
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward