Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\) (\(c\) — гипотенуза). Пифагоровы тройки: \(3, 4, 5\); \(5, 12, 13\); \(8, 15, 17\); \(7, 24, 25\) и их кратные.

\(\sin A = \dfrac{a}{c}\), \(\cos A = \dfrac{b}{c}\), \(\operatorname{tg} A = \dfrac{a}{b}\), где \(a\) — противолежащий катет, \(b\) — прилежащий. Острые углы в сумме дают \(90^\circ\), поэтому \(\sin A = \cos B\). Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы.

Высота к гипотенузе: \(h^2 = a_c b_c\), \(a^2 = c \cdot a_c\), \(b^2 = c \cdot b_c\), где \(a_c\), \(b_c\) — проекции катетов; \(h = \dfrac{ab}{c}\). Медиана к гипотенузе равна её половине: \(R = \dfrac{c}{2}\); радиус вписанной окружности \(r = \dfrac{a + b - c}{2}\).

Пример. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC = 4\), \(\cos A = 0{,}8\). Найдите \(AB\).
Решение. \(\cos A = \dfrac{AC}{AB}\), \(AB = \dfrac{4}{0{,}8} = 5\).

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен \(14^\circ\). Найдите больший острый угол.
Решение. Медиана образует с катетом угол, равный прилежащему острому углу, высота — с тем же катетом угол, равный другому острому углу; разность острых углов \(14^\circ\), сумма \(90^\circ\). Больший угол \(52^\circ\).

Пример. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение. Гипотенуза 10, \(r = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = 2\).