Треугольник: углы и замечательные линии
Сумма углов треугольника \(180^\circ\); внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Против большей стороны лежит больший угол. Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.
| Линия | Свойство |
|---|---|
| Медиана | делит сторону пополам; три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \(2 : 1\), считая от вершины; медиана делит треугольник на два равновеликих |
| Биссектриса | делит угол пополам; делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \(\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}\); биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности |
| Высота | перпендикуляр к стороне; высоты (или их продолжения) пересекаются в ортоцентре |
| Средняя линия | соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине |
| Серединный перпендикуляр | серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности |
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота к основанию совпадают. В равностороннем — все углы по \(60^\circ\), высота \(h = \dfrac{a\sqrt3}{2}\), площадь \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\).
Пример. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CD\) — высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\). Найдите угол \(BCD\).
Решение. В треугольнике \(ACD\) угол \(ACD = 60^\circ\), значит, \(\angle BCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Высота из прямого угла образует с катетами углы, равные острым углам треугольника.
Пример. В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BL\) делит сторону \(AC\) на отрезки \(AL = 4\) и \(LC = 6\), \(AB = 6\). Найдите \(BC\).
Решение. \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AL}{LC} = \dfrac{2}{3}\), \(BC = 9\).
Закрепите теорию: 14 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward