Физический смысл производной: скорость и ускорение
Если известен закон движения \(x(t)\) — координата как функция времени, — то производная даёт скорость, а производная скорости — ускорение. Так задачи о движении сводятся к дифференцированию.
Формулы. \[v(t) = x'(t), \qquad a(t) = v'(t) = x''(t).\] Момент остановки: \(v(t) = 0\). Пройденный путь за время от \(t_1\) до \(t_2\) при движении в одну сторону: \(x(t_2) - x(t_1)\). Для любого процесса \(y(t)\) производная \(y'(t)\) — скорость изменения величины (расход воды, скорость остывания, темп роста).
Как это работает. Материальная точка движется по закону \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\) (метры, секунды). Найдём скорость в момент \(t = 4\) и моменты, когда скорость равна нулю.
- \(v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9\).
- \(v(4) = 48 - 48 + 9 = 9\) м/с.
- \(v(t) = 0\): \(3t^2 - 12t + 9 = 0\), \(t^2 - 4t + 3 = 0\), \(t = 1\) и \(t = 3\). Ответ: 9 м/с; при \(t = 1\) с и \(t = 3\) с.
Ещё пример. Найдите ускорение точки из предыдущего примера в момент \(t = 4\).
Решение. \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\), \(a(4) = 12\) м/с². Ответ: 12 м/с².
Лайфхак. Вопрос «в какой момент скорость была равна …» — уравнение \(x'(t) = v_0\); вопрос «через сколько секунд точка остановится» — уравнение \(x'(t) = 0\) с положительным корнем. Проверяйте единицы: ответ в секундах, метрах в секунду или метрах в секунду за секунду.
Типичная ошибка. Подставляют момент времени в \(x(t)\), а не в \(x'(t)\), когда просят скорость. Координата и скорость — разные функции.
На ЕГЭ. Задание 9 (один из типов): «Точка движется по закону \(x(t) = \dfrac12 t^2 - 3t + 5\); найдите скорость в момент \(t = 6\)». Задание 10: формула \(h(t) = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}\) — высота; наибольшая высота достигается при \(h'(t) = 0\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward