Касательная к графику функции
Касательная в точке \(x_0\) — прямая, проходящая через точку графика \((x_0; f(x_0))\) с угловым коэффициентом \(f'(x_0)\). Зная функцию, касательную записывают формулой; зная рисунок касательной, по нему находят производную.
Формулы. Уравнение касательной: \[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).\] По рисунку: \(f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) — отношение вертикального и горизонтального катетов треугольника на касательной (с учётом знака). Касательная параллельна прямой \(y = kx + b\), если \(f'(x_0) = k\); параллельна оси абсцисс, если \(f'(x_0) = 0\).
Как это работает. Составим уравнение касательной к графику \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) в точке \(x_0 = 3\).
- \(f(3) = 9 - 12 + 1 = -2\).
- \(f'(x) = 2x - 4\), \(f'(3) = 2\).
- \(y = -2 + 2(x - 3) = 2x - 8\). Ответ: \(y = 2x - 8\).
Ещё пример. Прямая \(y = 7x - 5\) параллельна касательной к графику \(y = x^2 + 3x - 4\). Найдите абсциссу точки касания.
Решение. Параллельность означает равенство угловых коэффициентов: \(f'(x_0) = 2x_0 + 3 = 7\), \(x_0 = 2\). Ответ: 2.
Лайфхак. На клетчатом рисунке выберите на касательной две точки в узлах сетки, постройте прямоугольный треугольник и разделите вертикальный катет на горизонтальный. Если касательная идёт вниз, ставьте минус. Угол с осью смотрите по направлению возрастания \(x\).
Типичная ошибка. В задаче «касательная параллельна прямой» ищут точку пересечения прямой с графиком вместо точки, где производная равна угловому коэффициенту прямой.
На ЕГЭ. Задание 9: «Найдите \(f'(x_0)\) по графику и касательной» (ответ — целое или десятичная дробь), «Прямая \(y = 3x + 1\) параллельна касательной к графику \(y = x^2 + 5x - 3\); найдите абсциссу точки касания». Второй тип решается уравнением \(f'(x_0) = 3\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward