Производная сложной функции
Сложная функция — функция от функции: \(\sin(3x)\), \(\sqrt{x^2 + 1}\), \(e^{2x - 5}\). Её производная равна производной внешней функции по внутреннему аргументу, умноженной на производную внутренней функции. Это правило называют цепным.
Формула. \[\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x).\] Частный случай линейного аргумента: \(\big(f(kx + b)\big)' = k \cdot f'(kx + b)\): \((\sin 3x)' = 3\cos 3x\), \((e^{2x - 5})' = 2e^{2x - 5}\), \(\big((5x - 1)^4\big)' = 4(5x - 1)^3 \cdot 5 = 20(5x - 1)^3\). Общий случай: \(\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\).
Как это работает. Найдём производную функции \(f(x) = \ln(x^2 - 3x)\) и значение \(f'(4)\).
- Внешняя функция — \(\ln u\), её производная \(\dfrac1u\); внутренняя \(u = x^2 - 3x\), \(u' = 2x - 3\).
- \(f'(x) = \dfrac{1}{x^2 - 3x} \cdot (2x - 3) = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 3x}\).
- \(f'(4) = \dfrac{5}{16 - 12} = 1{,}25\). Ответ: \(\dfrac{2x - 3}{x^2 - 3x}\); 1,25.
Ещё пример. Найдите производную функции \(y = \cos^2 x\).
Решение. Внешняя функция — квадрат, внутренняя — косинус: \(y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x\). Ответ: \(-\sin 2x\).
Лайфхак. Определите «внешнюю» функцию вопросом: «что делается последним?» В \(\cos^2 x\) последним возводят в квадрат — внешняя функция квадрат. В \(\cos(x^2)\) последним берут косинус — внешняя функция косинус, и производная \(-2x\sin(x^2)\).
Типичная ошибка. Забывают множитель — производную внутренней функции: \((\sin 3x)' = \cos 3x\) вместо \(3\cos 3x\). При линейном аргументе коэффициент \(k\) всегда выходит вперёд.
На ЕГЭ. Задание 17: функции \((x - 5)^2(x + 3)\), \(e^{2x} - 4e^x\), \(\ln(x + 3)^2\) требуют цепного правила. Задание 10 с гармоническими колебаниями: скорость \(x'(t)\) для \(x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\) равна \(A\omega\cos(\omega t + \varphi)\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward