Правила дифференцирования
Производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится, а для произведения и частного есть особые формулы — произведение дифференцируют не «по частям», а по правилу с двумя слагаемыми.
Правила. \[(u \pm v)' = u' \pm v', \qquad (Cu)' = Cu', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}.\] Производная многочлена — почленно: \((3x^4 - 5x^2 + 7x - 2)' = 12x^3 - 10x + 7\). Производная константы равна нулю, поэтому свободный член исчезает.
Как это работает. Найдём производную функции \(f(x) = x^2 \sin x\) и значение \(f'(0)\).
- Произведение \(u = x^2\), \(v = \sin x\): \(u' = 2x\), \(v' = \cos x\).
- \(f'(x) = u'v + uv' = 2x\sin x + x^2\cos x\).
- \(f'(0) = 0 + 0 = 0\). Ответ: \(2x\sin x + x^2\cos x\); 0.
Ещё пример. Найдите производную функции \(y = \dfrac{x}{x + 1}\) и её значение в точке \(x = 1\).
Решение. \(u = x\), \(v = x + 1\): \(y' = \dfrac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\). При \(x = 1\): \(\dfrac14 = 0{,}25\). Ответ: \(\dfrac{1}{(x + 1)^2}\); 0,25.
Лайфхак. Если можно упростить функцию до дифференцирования — упрощайте: \(\dfrac{x^3 + x}{x} = x^2 + 1\), производная \(2x\) без правила частного. Произведение многочлена на число раскрывайте, а не дифференцируйте как произведение.
Типичная ошибка. \((uv)' = u'v'\) — производная произведения не равна произведению производных: \((x \cdot x)' = 2x\), а \(1 \cdot 1 = 1\). В формуле частного путают порядок слагаемых в числителе: сначала \(u'v\), потом минус \(uv'\).
На ЕГЭ. Задание 17 требует найти производную функции вида \((x - a)^2 e^{x}\), \(\dfrac{x^2 + 1}{x}\), \(x\ln x\) — правила произведения и частного обязательны. Ошибка в производной обнуляет всю задачу.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward