Таблица производных
Производные основных функций вычислены раз и навсегда и сведены в таблицу. Её нужно знать наизусть: все остальные производные получаются из табличных по правилам дифференцирования.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(C\) | \(0\) | \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(x\) | \(1\) | \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n - 1}\) | \(\ln x\) | \(\dfrac1x\) |
| \(\sqrt x\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt x}\) | \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\ln a}\) |
| \(\dfrac1x\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\operatorname{tg} x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
Как запомнить. Степень: показатель «спрыгивает» вперёд и уменьшается на 1 — это работает и для дробных, и для отрицательных показателей: \(\sqrt x = x^{\dfrac12}\), \(\dfrac1x = x^{-1}\). У \(e^x\) производная равна самой функции. У синуса и косинуса производные «меняются местами», минус появляется у косинуса.
Как это работает. Найдём производные функций \(y = x^5\), \(y = \sqrt[3]{x}\) и \(y = \dfrac{1}{x^3}\) по формуле степени.
- \((x^5)' = 5x^4\).
- \(\sqrt[3]{x} = x^{\dfrac13}\): \(\left(x^{\dfrac13}\right)' = \dfrac13 x^{-\dfrac23} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\).
- \(\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}\): \((x^{-3})' = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}\). Ответ: \(5x^4\); \(\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\); \(-\dfrac{3}{x^4}\).
Ещё пример. Найдите значение производной функции \(f(x) = \sin x\) в точке \(x_0 = \dfrac{\pi}{3}\) и функции \(g(x) = \ln x\) в точке \(x_0 = 4\).
Решение. \(f'(x) = \cos x\), \(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12\). \(g'(x) = \dfrac1x\), \(g'(4) = 0{,}25\). Ответ: 0,5; 0,25.
Лайфхак. Перед дифференцированием переписывайте корни и дроби степенями: \(\dfrac{1}{\sqrt x} = x^{-\dfrac12}\), \(\sqrt{x^3} = x^{\dfrac32}\). Одна формула степени заменяет три отдельных правила.
Типичная ошибка. \((\cos x)' = \sin x\) без минуса и \((e^x)' = xe^{x - 1}\) «по формуле степени». Показательная функция — не степенная: переменная в показателе, а не в основании.
На ЕГЭ. Таблица нужна в заданиях 9 и 17 и во всех задачах на касательную. Чаще всего встречаются \(x^n\), \(\sqrt x\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\), \(\cos x\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward