Что такое производная
Производная измеряет, как быстро меняется функция: это мгновенная скорость изменения \(y\) при изменении \(x\). На графике производная в точке равна угловому коэффициенту касательной — наклону графика в этой точке. Так одно понятие соединяет физику (скорость) и геометрию (наклон).
Определение. \[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\] — предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Геометрический смысл: \(f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha = k\) — угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\). Физический смысл: если \(s(t)\) — путь, то \(s'(t)\) — скорость. Знак производной показывает направление: \(f' \gt 0\) — функция растёт, \(f' \lt 0\) — убывает, \(f' = 0\) — касательная горизонтальна.
Как это работает. Найдём производную функции \(f(x) = x^2\) в точке \(x_0 = 3\) по определению.
- Приращение функции: \(f(3 + \Delta x) - f(3) = (3 + \Delta x)^2 - 9 = 6\Delta x + \Delta x^2\).
- Отношение: \(\dfrac{6\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} = 6 + \Delta x\).
- При \(\Delta x \to 0\) получаем 6: \(f'(3) = 6\). Касательная к параболе в точке \((3; 9)\) имеет угловой коэффициент 6. Ответ: 6.
Ещё пример. Касательная к графику функции в точке \(x_0\) наклонена к оси абсцисс под углом \(135^\circ\). Найдите \(f'(x_0)\).
Решение. \(f'(x_0) = \operatorname{tg} 135^\circ = -1\). Функция в этой точке убывает. Ответ: \(-1\).
Лайфхак. Знак производной читайте по направлению касательной: идёт вверх слева направо — плюс, вниз — минус, горизонтальна — нуль. Величину — по крутизне: чем круче касательная, тем больше \(|f'|\).
Типичная ошибка. Путают \(f'(x_0)\) с \(f(x_0)\): производная — наклон, а не высота графика. Функция может быть большой, а производная — нулевой (вершина горы) и наоборот.
На ЕГЭ. Задание 9: «На рисунке изображён график функции и касательная в точке \(x_0\). Найдите \(f'(x_0)\)» — по двум точкам касательной в узлах сетки считают \(\operatorname{tg}\alpha\). Задание 10 про скорость — физический смысл производной.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward