Формулы сокращённого умножения и разложение на множители
| Формула | Запись |
|---|---|
| Квадрат суммы и разности | \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) |
| Разность квадратов | \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) |
| Куб суммы и разности | \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3\) |
| Сумма и разность кубов | \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\) |
| Квадратный трёхчлен | \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), где \(x_1, x_2\) — корни |
Способы разложения на множители: вынесение общего множителя, группировка, формулы сокращённого умножения, разложение квадратного трёхчлена по корням, выделение полного квадрата.
Пример. Разложите на множители \(x^3 - 4x^2 - x + 4\).
Решение. Группируем: \(x^2(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(x^2 - 1) = (x - 4)(x - 1)(x + 1)\).
Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{(a + 3)^2 - (a - 3)^2}{a}\) при \(a = 2{,}7\).
Решение. Числитель — разность квадратов: \((a + 3 - a + 3)(a + 3 + a - 3) = 6 \cdot 2a = 12a\). Дробь равна 12 при любом \(a \ne 0\).
Пример. Найдите \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\), если \(a + \dfrac1a = 5\).
Решение. Возведём равенство в квадрат: \(a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 25\), откуда \(a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 23\).
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward