Алгебраические дроби

Алгебраическую дробь сокращают только на общий множитель числителя и знаменателя, а не на слагаемое. Поэтому сначала оба раскладывают на множители. При сложении дробей находят общий знаменатель — НОК знаменателей; при делении дробей умножают на «перевёрнутую» дробь.

Пример. Упростите \(\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}\).
Решение. \(\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \dfrac{x + 3}{x - 3}\) при \(x \ne 3\).

Пример. Упростите \(\dfrac{a}{a - b} - \dfrac{b}{a + b} - \dfrac{2b^2}{a^2 - b^2}\).
Решение. Общий знаменатель \((a - b)(a + b)\): \(\dfrac{a(a + b) - b(a - b) - 2b^2}{a^2 - b^2} = \dfrac{a^2 + ab - ab + b^2 - 2b^2}{a^2 - b^2} = \dfrac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1\).

Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{5x - 5y}{x^2 - y^2} \cdot \dfrac{x + y}{10}\) при \(x = 3{,}5\), \(y = 1{,}2\).
Решение. \(\dfrac{5(x - y)(x + y)}{(x - y)(x + y) \cdot 10} = \dfrac12 = 0{,}5\) — от значений \(x\) и \(y\) ответ не зависит.

Многоэтажную дробь упрощают, умножая числитель и знаменатель на общий знаменатель всех «внутренних» дробей: \(\dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 1} = \dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x}{x - 1}\).