Тригонометрические преобразования
| Формула | Запись |
|---|---|
| Синус суммы и разности | \(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\) |
| Косинус суммы и разности | \(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\) |
| Синус двойного угла | \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) |
| Косинус двойного угла | \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\) |
| Тангенс двойного угла | \(\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}\) |
| Понижение степени | \(\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}\), \(\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\) |
| Сумма синусов | \(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}\) |
| Сумма косинусов | \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}\) |
Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{3\sin 164^\circ}{\sin 82^\circ \cdot \sin 8^\circ}\).
Решение. \(\sin 164^\circ = \sin 16^\circ = 2\sin 8^\circ \cos 8^\circ\), \(\sin 82^\circ = \cos 8^\circ\). Дробь равна \(\dfrac{3 \cdot 2\sin 8^\circ\cos 8^\circ}{\cos 8^\circ \sin 8^\circ} = 6\).
Пример. Найдите \(\cos 2\alpha\), если \(\sin\alpha = 0{,}3\).
Решение. \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\).
Пример. Найдите \(\sin\alpha\cos\alpha\), если \(\sin\alpha + \cos\alpha = 1{,}2\).
Решение. Квадрат суммы: \(1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1{,}44\), откуда \(\sin\alpha\cos\alpha = 0{,}22\).
Лайфхак. Если в выражении стоят «некрасивые» углы вроде \(82^\circ\) и \(8^\circ\), ищите их связь: сумма \(90^\circ\) (кофункции), сумма \(180^\circ\) (приведение), удвоение (двойной угол). Число \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) всегда сворачивайте в \(\cos 2\alpha\).
Как это спрашивают на ЕГЭ. Задание 8: значение выражения с тригонометрическими функциями «некруглых» углов. Задание 14: уравнения, где формулы двойного угла и понижения степени сводят уравнение к одной функции.
Закрепите теорию: 13 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward