Функции, непрерывные на отрезке

Непрерывная на отрезке функция ведёт себя предсказуемо: она не может перескочить ни одно промежуточное значение и обязательно достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти два факта — теоремы о промежуточном значении и Вейерштрасса — лежат в основе доказательств существования корня и алгоритма поиска экстремумов.

Как это работает. Докажем, что уравнение \(x^3 + x - 3 = 0\) имеет корень на отрезке \([1; 2]\), и уточним его положение.

1. Функция \(f(x) = x^3 + x - 3\) — многочлен, непрерывна. \(f(1) = -1 \lt 0\), \(f(2) = 7 \gt 0\): знаки разные, корень на \((1; 2)\) есть.
2. Уточняем: \(f(1{,}5) = 3{,}375 + 1{,}5 - 3 = 1{,}875 \gt 0\), значит, корень на \((1; 1{,}5)\). \(f(1{,}2) = 1{,}728 + 1{,}2 - 3 = -0{,}072 \lt 0\): корень на \((1{,}2; 1{,}5)\).
3. Корень единственный: \(f\) возрастает (сумма возрастающих функций). Ответ: корень существует, лежит в \((1{,}2; 1{,}5)\), он единственный.

Ещё пример. Достигает ли функция \(y = \dfrac{1}{x}\) наибольшего значения на отрезке \([1; 3]\)? На промежутке \((0; 3]\)?
Решение. На \([1; 3]\) функция непрерывна, наибольшее значение \(1\) достигается в точке \(x = 1\). На \((0; 3]\) функция не ограничена сверху: при \(x \to 0\) значения растут неограниченно, наибольшего значения нет. Ответ: да; нет.