Асимптоты

11 заданий

Асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается. Вертикальные асимптоты возникают в точках бесконечного разрыва, горизонтальные показывают, к какому значению стремится функция при \(x \to \pm\infty\).

Правила. Вертикальная асимптота \(x = x_0\): \(x_0\) — нуль знаменателя после сокращения (\(y = \dfrac{1}{x - 2}\): \(x = 2\); \(y = \log_a(x - 3)\): \(x = 3\); \(y = \operatorname{tg} x\): \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\)). Горизонтальная \(y = b\): \(b = \lim\limits_{x \to \infty} f(x)\). Для дроби из многочленов: степени равны — \(b\) равно отношению старших коэффициентов; степень числителя меньше — \(b = 0\); больше — горизонтальной асимптоты нет. \(y = a^x\): асимптота \(y = 0\); \(y = a^x + c\): \(y = c\). Наклонная \(y = kx + b\) — если степень числителя на 1 больше степени знаменателя.

Как это работает. Найдём асимптоты графика функции \(y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}\).

Вертикальная: знаменатель равен нулю при \(x = -2\), числитель там \(-7 \ne 0\): асимптота \(x = -2\).
Горизонтальная: степени числителя и знаменателя равны 1, отношение старших коэффициентов \(\dfrac31 = 3\): асимптота \(y = 3\).
Проверка: \(\dfrac{3x - 1}{x + 2} = 3 - \dfrac{7}{x + 2}\) — это гипербола с центром \((-2; 3)\). Ответ: \(x = -2\), \(y = 3\).

Ещё пример. Найдите горизонтальную асимптоту графика \(y = 5 - 2^{-x}\) и укажите, с какой стороны график к ней приближается.
Решение. При \(x \to +\infty\) \(2^{-x} \to 0\), поэтому \(y \to 5\); асимптота \(y = 5\). Так как \(2^{-x} \gt 0\), график лежит ниже прямой \(y = 5\) и приближается к ней снизу. Ответ: \(y = 5\), снизу.

Лайфхак. Чтобы найти горизонтальную асимптоту дроби, мысленно подставьте огромное \(x\): младшие слагаемые становятся незаметными, и остаётся отношение старших. Для \(\dfrac{3x - 1}{x + 2}\) при \(x = 1000\): \(\dfrac{2999}{1002} \approx 3\).

Типичная ошибка. Объявляют вертикальной асимптотой каждый нуль знаменателя, не сократив дробь: у \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) асимптоты нет, только устранимый разрыв.

На ЕГЭ. Задание 12: по асимптотам гиперболы \(y = \dfrac{k}{x + a} + b\) и графика \(y = \log_a(x + b)\) находят параметры \(a\) и \(b\). График никогда не пересекает вертикальную асимптоту, но горизонтальную пересечь может.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward