Функции y = sin x и y = cos x
Графики синуса и косинуса — синусоиды: волны высотой от \(-1\) до 1 с периодом \(2\pi\). График косинуса — тот же синус, сдвинутый влево на \(\dfrac{\pi}{2}\): \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\). Все свойства читаются с единичной окружности и с графика.
| Свойство | \(y = \sin x\) | \(y = \cos x\) |
|---|---|---|
| Область определения, множество значений | \(\mathbb R\), \([-1; 1]\) | \(\mathbb R\), \([-1; 1]\) |
| Чётность | нечётная | чётная |
| Период | \(2\pi\) | \(2\pi\) |
| Нули | \(x = \pi k\) | \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\) |
| Максимум 1 в точках | \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\) | \(2\pi k\) |
| Минимум \(-1\) в точках | \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\) | \(\pi + 2\pi k\) |
| Положительна | \((2\pi k; \pi + 2\pi k)\) | \(\left(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k; \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\) |
| Возрастает | \(\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k; \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right]\) | \([\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]\) |
Как это работает. Найдём множество значений функции \(y = 3\sin x - 1\) и укажем, при каких \(x\) она принимает наибольшее значение.
- \(-1 \le \sin x \le 1\). Умножаем на 3: \(-3 \le 3\sin x \le 3\). Вычитаем 1: \(-4 \le y \le 2\).
- Наибольшее значение 2 достигается, когда \(\sin x = 1\), то есть при \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\).
- Ответ: \(E = [-4; 2]\); \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\).
Ещё пример. Сколько нулей имеет функция \(y = \cos x\) на отрезке \([0; 10]\)?
Решение. Нули \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\): \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\), \(\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71\), \(\dfrac{5\pi}{2} \approx 7{,}85\), следующий \(\dfrac{7\pi}{2} \approx 11 \gt 10\). Ответ: 3.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward