Функции y = tg x и y = ctg x

11 заданий

Тангенс и котангенс не ограничены и имеют период \(\pi\). Их графики — бесконечные ветви между вертикальными асимптотами: тангенс не определён там, где косинус равен нулю, котангенс — где равен нулю синус.

Свойства. \(y = \operatorname{tg} x\): \(D\) — все \(x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(E = \mathbb R\), нечётная, период \(\pi\), нули \(x = \pi k\), возрастает на каждом промежутке \(\left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k; \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)\), асимптоты \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\). \(y = \operatorname{ctg} x\): \(D\) — все \(x \ne \pi k\), \(E = \mathbb R\), нечётная, период \(\pi\), нули \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), убывает на каждом промежутке \((\pi k; \pi + \pi k)\). Знаки: обе функции положительны в I и III четвертях.

Как это работает. Найдём область определения функции \(y = \operatorname{tg} 2x\) и её период.

Тангенс не определён, когда аргумент равен \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\): \(2x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), откуда \(x \ne \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}\).
Период: \(\dfrac{\pi}{2}\) — период тангенса, делённый на 2.
Асимптоты стоят через \(\dfrac{\pi}{2}\): \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), … Ответ: \(x \ne \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}\); \(T = \dfrac{\pi}{2}\).

Ещё пример. Сколько корней имеет уравнение \(\operatorname{tg} x = 2\) на отрезке \([0; 2\pi]\)?
Решение. На каждом промежутке между асимптотами тангенс принимает каждое значение один раз. На \([0; 2\pi]\) таких промежутков два (с учётом частей): корни \(\operatorname{arctg} 2\) и \(\operatorname{arctg} 2 + \pi\). Ответ: 2.

Лайфхак. У тангенса на отрезке длиной \(\pi\) ровно один корень уравнения \(\operatorname{tg} x = a\) при любом \(a\), если концы отрезка не попадают в асимптоты. Это быстрый способ считать корни: длина отрезка, делённая на \(\pi\).

Типичная ошибка. «Тангенс возрастает на всей области определения, значит, \(\operatorname{tg} 1 \lt \operatorname{tg} 2\)». Между 1 и 2 лежит асимптота \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\): \(\operatorname{tg} 1 \gt 0\), а \(\operatorname{tg} 2 \lt 0\). Возрастание — только на каждом промежутке отдельно.

На ЕГЭ. Область определения тангенса — часть ОДЗ в задании 14 (уравнения с \(\operatorname{tg} x\) в знаменателе или под корнем); неограниченность тангенса — причина, по которой \(\operatorname{tg} x = 5\) имеет решения, а \(\sin x = 5\) — нет.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward