Функция y = A sin(kx + b) + c: амплитуда, период, наибольшее значение
Любая функция вида \(y = A\sin(kx + b) + c\) — растянутая и сдвинутая синусоида. Числа \(A\), \(k\), \(b\), \(c\) отвечают за амплитуду, период, сдвиг по горизонтали и по вертикали. Так описывают колебания: маятника, тока, звука.
Формулы. \(|A|\) — амплитуда (размах от средней линии); \(T = \dfrac{2\pi}{|k|}\) — период; \(y = c\) — средняя линия; множество значений \([c - |A|; c + |A|]\). Наибольшее значение \(c + |A|\) достигается при \(\sin(kx + b) = 1\) (если \(A \gt 0\)); наименьшее \(c - |A|\) — при \(\sin(kx + b) = -1\). Те же правила для косинуса. Если синус или косинус входит в квадрате, \(0 \le \sin^2 x \le 1\).
Как это работает. Найдём наибольшее значение функции \(y = 7 - 4\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{5}\right)\).
- Косинус принимает значения от \(-1\) до 1, поэтому \(-4\cos(\ldots)\) принимает значения от \(-4\) до 4.
- Наибольшее значение \(7 + 4 = 11\) — когда \(\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{5}\right) = -1\).
- Множество значений \([3; 11]\), период \(\dfrac{2\pi}{3}\). Ответ: 11.
Ещё пример. Найдите наименьшее значение функции \(y = 5\sin^2 x + 2\).
Решение. \(0 \le \sin^2 x \le 1\), значит, \(2 \le y \le 7\). Наименьшее значение 2 при \(\sin x = 0\). Ответ: 2.
Лайфхак. Для наибольшего и наименьшего значений не нужно решать уравнения: подставьте вместо синуса (косинуса) сначала 1, потом \(-1\) и возьмите большее и меньшее из двух чисел. Квадрат синуса подставляйте как 0 и 1.
Типичная ошибка. Считают, что \(y = 7 - 4\cos(\ldots)\) имеет наибольшее значение при \(\cos = 1\). Знак минус перед косинусом переворачивает: наибольшее — при \(\cos = -1\).
На ЕГЭ. Задание 8: «Найдите наибольшее значение функции \(y = 5 - 3\sin 2x\)» (ответ 8). Задание 10 с гармоническими колебаниями: \(x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\) — спрашивают, в какой момент величина впервые достигнет заданного значения.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward