Функции y = √x и y = ⁿ√x

11 заданий

Функция \(y = \sqrt x\) обратна к \(y = x^2\) на \([0; +\infty)\): её график — половина параболы, положенной набок. Она определена только при \(x \ge 0\), возрастает и принимает все неотрицательные значения. Корни нечётной степени определены на всей прямой.

Свойства. \(y = \sqrt x\): \(D = E = [0; +\infty)\), возрастает, начинается в точке \((0; 0)\), проходит через \((1; 1)\), \((4; 2)\), \((9; 3)\). \(y = \sqrt[3]{x}\): \(D = E = \mathbb R\), нечётная, возрастает, проходит через \((-8; -2)\), \((-1; -1)\), \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((8; 2)\). Сдвиги: \(y = k\sqrt{x - a} + b\) начинается в точке \((a; b)\); \(k \gt 0\) — ветвь вверх-вправо, \(k \lt 0\) — вниз-вправо. \(y = \sqrt{-x}\) — ветвь влево.

Как это работает. График функции \(y = k\sqrt{x - a} + b\) начинается в точке \((-3; 1)\) и проходит через точку \((1; 5)\). Найдём формулу и \(f(13)\).

Начальная точка даёт \(a = -3\), \(b = 1\): \(y = k\sqrt{x + 3} + 1\).
Подставляем \((1; 5)\): \(5 = k\sqrt4 + 1\), \(2k = 4\), \(k = 2\).
\(f(13) = 2\sqrt{16} + 1 = 9\). Ответ: \(y = 2\sqrt{x + 3} + 1\); \(f(13) = 9\).

Ещё пример. Сколько целых чисел входит в область определения функции \(y = \sqrt{7 - 2x} + \sqrt[3]{x}\), не превосходящих 10 по модулю?
Решение. Кубический корень ограничений не даёт; \(7 - 2x \ge 0\), \(x \le 3{,}5\). Целые от \(-10\) до 3: их 14. Ответ: 14.

Лайфхак. Для функции корня ищите на рисунке «начальную точку» — конец ветви: это \((a; b)\). Затем выберите точку, где подкоренное выражение — точный квадрат (на 1, 4 или 9 правее начала), и найдите \(k\) по высоте.

Типичная ошибка. Распространяют свойство \(\sqrt x \ge 0\) на кубический корень: \(\sqrt[3]{-8} = -2\) существует, график проходит через третью четверть.

На ЕГЭ. Задание 12: график \(f(x) = k\sqrt{x + a}\) — найти \(f(2)\) или \(k\). Область определения корня — первая строка ОДЗ заданий 14, 15, 17; монотонность корня используют для решения неравенств \(\sqrt{f} \lt \sqrt{g}\).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward