Гипербола y = k/x и её сдвиги

11 заданий

Функция \(y = \dfrac{k}{x}\) — обратная пропорциональность, её график — гипербола из двух ветвей. Она не определена при \(x = 0\) и никогда не равна нулю: оси координат — её асимптоты. Сдвинутая гипербола \(y = \dfrac{k}{x - a} + b\) имеет асимптоты \(x = a\) и \(y = b\).

Свойства. При \(k \gt 0\) ветви в I и III четвертях, функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\); при \(k \lt 0\) ветви во II и IV четвертях, функция возрастает на каждом промежутке. Функция нечётная. Для \(y = \dfrac{k}{x - a} + b\): вертикальная асимптота \(x = a\), горизонтальная \(y = b\), центр симметрии \((a; b)\). Чем больше \(|k|\), тем дальше ветви от центра. Коэффициент \(k\) — произведение координат любой точки гиперболы \(y = \dfrac{k}{x}\): \(k = xy\).

Как это работает. График функции \(y = \dfrac{k}{x - a} + b\) имеет асимптоты \(x = 2\) и \(y = -1\) и проходит через точку \((3; 2)\). Найдём \(k\), \(a\), \(b\).

Асимптоты дают \(a = 2\), \(b = -1\): \(y = \dfrac{k}{x - 2} - 1\).
Подставляем точку: \(2 = \dfrac{k}{1} - 1\), \(k = 3\).
Проверка знака: \(k \gt 0\), ветви «правее-выше» и «левее-ниже» центра \((2; -1)\). Ответ: \(k = 3\), \(a = 2\), \(b = -1\).

Ещё пример. На рисунке гипербола \(y = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \((-4; 0{,}5)\). Найдите \(k\) и значение функции при \(x = 0{,}25\).
Решение. \(k = xy = -4 \cdot 0{,}5 = -2\). При \(x = 0{,}25\): \(y = \dfrac{-2}{0{,}25} = -8\). Ответ: \(k = -2\); \(-8\).

Лайфхак. На рисунке сначала найдите асимптоты — прямые, к которым ветви прижимаются, но не пересекают их. Их уравнения дают \(a\) и \(b\) сразу. Потом возьмите любую точку в узле сетки и найдите \(k\) из \(k = (x - a)(y - b)\).

Типичная ошибка. Пишут вертикальную асимптоту \(x = -a\) для функции \(\dfrac{k}{x - a}\). Знаменатель равен нулю при \(x = a\): асимптота \(x = a\), со знаком «как есть».

На ЕГЭ. Задание 12: «На рисунке изображён график функции \(f(x) = \dfrac{k}{x + a}\). Найдите \(f(-7)\)» — асимптота даёт \(a\), точка даёт \(k\). Гиперболы также встречаются в задании 9 как графики функций, к которым проводят касательные.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward