Степенные функции y = xⁿ

11 заданий

Степенные функции с натуральным показателем делятся на два семейства. При чётном \(n\) график похож на параболу \(y = x^2\): симметричен относительно оси \(Oy\). При нечётном — на кубическую параболу \(y = x^3\): симметричен относительно начала координат и возрастает на всей прямой.

Свойства. Чётное \(n\): функция чётная, \(E = [0; +\infty)\), убывает при \(x \le 0\), возрастает при \(x \ge 0\), минимум в нуле. Нечётное \(n\): функция нечётная, \(E = \mathbb R\), возрастает всюду, уравнение \(x^n = c\) имеет ровно один корень \(\sqrt[n]{c}\) при любом \(c\). Все графики проходят через \((0; 0)\) и \((1; 1)\); при \(0 \lt x \lt 1\) большая степень даёт меньшее значение, при \(x \gt 1\) — большее. Отрицательный показатель: \(y = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\) — гипербола (чётная или нечётная по \(n\)), не определена в нуле.

Как это работает. Сравним числа \(0{,}7^3\), \(0{,}7^5\) и \(1{,}2^3\), \(1{,}2^5\) без вычислений.

При \(0 \lt x \lt 1\) степень с большим показателем меньше: \(0{,}7^5 \lt 0{,}7^3\) (умножаем на число меньше 1 — результат уменьшается).
При \(x \gt 1\) наоборот: \(1{,}2^5 \gt 1{,}2^3\).
На графиках: правее \(x = 1\) кривая \(y = x^5\) выше кривой \(y = x^3\), между 0 и 1 — ниже. Ответ: \(0{,}7^5 \lt 0{,}7^3\), \(1{,}2^5 \gt 1{,}2^3\).

Ещё пример. Сколько корней имеет уравнение \(x^4 = 5\)? А уравнение \(x^5 = -7\)?
Решение. \(x^4 = 5\): чётная степень, прямая \(y = 5\) пересекает график в двух точках \(\pm\sqrt[4]{5}\) — два корня. \(x^5 = -7\): нечётная степень, функция возрастает, один корень \(-\sqrt[5]{7}\). Ответ: 2; 1.

Лайфхак. Чтобы решить \(x^n = c\), спросите: чётна ли степень и положительно ли \(c\)? Чётная и \(c \gt 0\) — два корня \(\pm\sqrt[n]{c}\); чётная и \(c \lt 0\) — корней нет; нечётная — один корень при любом \(c\).

Типичная ошибка. Считают, что \(y = x^3\) имеет минимум в нуле «как парабола». Кубическая парабола возрастает всюду; в нуле у неё точка перегиба, а не экстремум.

На ЕГЭ. Монотонность нечётной степени обосновывает единственность корня в заданиях 17 и 19; свойства \(y = x^n\) нужны при сравнении чисел в задании 8 и при решении неравенств вида \(x^3 \gt 8\) в задании 15.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward