Парабола y = ax² + bx + c

11 заданий

График функции \(y = x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси ординат. Любая квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) даёт такую же параболу, сдвинутую и растянутую. Три числа \(a\), \(b\), \(c\) читаются с графика.

Свойства. Ветви вверх при \(a \gt 0\), вниз при \(a \lt 0\); чем больше \(|a|\), тем парабола уже. Вершина: \[x_в = -\dfrac{b}{2a}, \qquad y_в = f(x_в).\] \(c = f(0)\) — ордината пересечения с осью \(Oy\). Нули — корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\); ось симметрии \(x = x_в\) проходит посередине между нулями. Вид через вершину: \(y = a(x - x_в)^2 + y_в\); через корни: \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\).

Как это работает. Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) проходит через точки \((0; 3)\), \((1; 0)\), \((3; 0)\). Найдём \(a\), \(b\), \(c\) и вершину.

\(c = f(0) = 3\). Нули 1 и 3 дают разложение \(y = a(x - 1)(x - 3)\).
Подставляем \(x = 0\): \(3 = a \cdot (-1)(-3) = 3a\), \(a = 1\). Раскрываем: \(y = x^2 - 4x + 3\), значит, \(b = -4\).
Вершина: \(x_в = \dfrac{1 + 3}{2} = 2\), \(y_в = 4 - 8 + 3 = -1\). Ответ: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\); вершина \((2; -1)\).

Ещё пример. На рисунке парабола с вершиной \((-1; 4)\) проходит через точку \((1; 0)\). Найдите \(f(3)\).
Решение. \(y = a(x + 1)^2 + 4\); при \(x = 1\): \(0 = 4a + 4\), \(a = -1\). Тогда \(f(3) = -(3 + 1)^2 + 4 = -12\). Ответ: \(-12\).

Лайфхак. Выбирайте форму записи по тому, что видно на рисунке: видны нули — через корни; видна вершина — через вершину; виден только \(c\) и ещё две точки — система уравнений. Коэффициент \(a\) на клетчатом рисунке: от вершины сдвиньтесь на 1 вправо — подъём равен \(a\).

Типичная ошибка. Знак \(b\) определяют «по наклону». Правильно: \(x_в = -\dfrac{b}{2a}\), поэтому при ветвях вверх вершина справа от оси \(Oy\) означает \(b \lt 0\), слева — \(b \gt 0\). При ветвях вниз — наоборот.

На ЕГЭ. Задание 12: «На рисунке изображён график функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Найдите \(f(-5)\)» или «найдите \(a\)». Вершина параболы \(x_в = -\dfrac{b}{2a}\) — также место наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции в задании 17.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward