Функция, её график, область определения и значений

Функция сопоставляет каждому \(x\) из области определения \(D(f)\) единственное число \(y = f(x)\). График — множество точек \((x; f(x))\); вертикальная прямая пересекает график не более одного раза. Множество значений \(E(f)\) — все \(y\), которые функция принимает.

Область определения ищут по «запретам»: знаменатель не равен нулю, под корнем чётной степени — неотрицательное число, под логарифмом — положительное, основание логарифма положительно и не равно 1, у тангенса \(\cos x \ne 0\).

Пример. Найдите область определения функции \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 2}\).
Решение. \(x + 3 \ge 0\) и \(x - 2 \ne 0\): \(x \in [-3; 2) \cup (2; +\infty)\).

Пример. Найдите множество значений функции \(y = 3 - 2\sin x\).
Решение. \(-1 \le \sin x \le 1\), значит, \(-2 \le -2\sin x \le 2\) и \(1 \le y \le 5\). Ответ: \([1; 5]\).

Пример. Найдите множество значений функции \(y = x^2 - 4x + 7\).
Решение. Выделим квадрат: \(y = (x - 2)^2 + 3 \ge 3\). Ответ: \([3; +\infty)\).