Чётность, периодичность, обратная функция

Чётная функция: \(f(-x) = f(x)\) для всех \(x\) из области определения, график симметричен относительно оси \(Oy\) (\(x^2\), \(\cos x\), \(|x|\)). Нечётная: \(f(-x) = -f(x)\), график симметричен относительно начала координат (\(x^3\), \(\sin x\), \(\dfrac1x\)). Область определения чётной и нечётной функции симметрична относительно нуля. Большинство функций — ни чётные, ни нечётные (\(x^2 + x\), \(2^x\)).

Периодическая функция повторяется: \(f(x + T) = f(x)\) при некотором \(T \ne 0\). Наименьший положительный период синуса и косинуса — \(2\pi\), тангенса — \(\pi\); у \(\sin kx\) период \(\dfrac{2\pi}{|k|}\).

Обратная функция \(f^{-1}\) возвращает аргумент по значению; она существует, если разным \(x\) соответствуют разные \(y\) (например, функция монотонна). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\): \(y = 2^x\) и \(y = \log_2 x\), \(y = x^3\) и \(y = \sqrt[3]{x}\). Чтобы найти обратную, выражают \(x\) через \(y\) и меняют буквы местами.

Пример. Найдите функцию, обратную к \(y = 3x - 6\).
Решение. \(x = \dfrac{y + 6}{3}\), значит, \(y = \dfrac{x + 6}{3} = \dfrac{x}{3} + 2\).

Пример. Функция \(f\) нечётна, и \(f(4) = 7\). Найдите \(f(-4) + f(0)\).
Решение. \(f(-4) = -7\); из \(f(-0) = -f(0)\) следует \(f(0) = 0\). Ответ: \(-7\).