Функция, её область определения и график

Функция — это правило, которое каждому числу \(x\) из некоторого множества ставит в соответствие ровно одно число \(y\). Множество допустимых \(x\) называют областью определения \(D(f)\), множество получающихся \(y\) — множеством значений \(E(f)\). График функции — все точки \((x; f(x))\); по нему функцию «читают» без формул.

Как это работает. Найдём область определения и множество значений функции \(y = \sqrt{x - 1} + 2\) и значение \(f(10)\).

1. Область определения: под корнем неотрицательное выражение, \(x - 1 \ge 0\), \(x \ge 1\): \(D(f) = [1; +\infty)\).
2. Множество значений: корень принимает все значения от 0 и выше, значит, \(y \ge 2\): \(E(f) = [2; +\infty)\).
3. \(f(10) = \sqrt{9} + 2 = 5\). Точка \((10; 5)\) лежит на графике. Ответ: \([1; +\infty)\); \([2; +\infty)\); 5.

Ещё пример. На графике функции точка с абсциссой 3 имеет ординату \(-2\), а горизонтальная прямая \(y = 1\) пересекает график в точках с абсциссами \(-1\) и 4. Найдите \(f(3)\) и решите уравнение \(f(x) = 1\).
Решение. \(f(3) = -2\). Решения уравнения \(f(x) = 1\) — абсциссы точек пересечения: \(x = -1\) и \(x = 4\). Ответ: \(-2\); \(-1\) и 4.