Чётные и нечётные функции

11 заданий

Чётность — это симметрия. Чётная функция одинаково ведёт себя слева и справа от нуля, её график симметричен относительно оси ординат. Нечётная функция меняет знак при смене знака аргумента, её график симметричен относительно начала координат.

Определения. Область определения симметрична относительно нуля, и \[f(-x) = f(x) \text{ — чётная}, \qquad f(-x) = -f(x) \text{ — нечётная}.\] Чётные: \(x^2\), \(x^4\), \(|x|\), \(\cos x\), любая функция от \(x^2\). Нечётные: \(x\), \(x^3\), \(\dfrac1x\), \(\sin x\), \(\operatorname{tg} x\). Функция может быть ни чётной, ни нечётной (\(x^2 + x\), \(2^x\)). Произведение двух чётных или двух нечётных функций чётно, чётной и нечётной — нечётно.

Как это работает. Исследуем на чётность функцию \(f(x) = x^3 - 5x\).

Область определения — все числа, она симметрична.
Подставляем \(-x\): \(f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -f(x)\).
Функция нечётная; её график симметричен относительно начала координат. Ответ: нечётная.

Ещё пример. Чётная функция \(f\) задана на отрезке \([-5; 5]\), и \(f(3) = 7\). Найдите \(f(-3)\). Нечётная функция \(g\) такова, что \(g(2) = -4\); найдите \(g(-2) + g(0)\).
Решение. \(f(-3) = f(3) = 7\). Для нечётной \(g(-2) = -g(2) = 4\), а \(g(0) = -g(0)\), откуда \(g(0) = 0\). Сумма \(4 + 0 = 4\). Ответ: 7; 4.

Лайфхак. У нечётной функции, определённой в нуле, обязательно \(f(0) = 0\): график проходит через начало координат. У чётной функции все нечётные степени \(x\) отсутствуют, у нечётной — все чётные степени и свободный член.

Типичная ошибка. «Функция не чётная — значит, нечётная». Это два разных свойства, и большинство функций не обладают ни одним: \(f(x) = x^2 + x\) даёт \(f(-x) = x^2 - x\), что не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).

На ЕГЭ. Чётность — ключ к задачам задания 19 «при каких \(a\) уравнение имеет единственное решение»: если выражение чётно по \(x\), единственный корень может быть только \(x = 0\) (тема 2.10).

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward