Периодические функции
Функция периодична, если её значения повторяются через одно и то же расстояние по оси \(x\). Это расстояние — период. Главные периодические функции школьного курса — тригонометрические; при изменении аргумента их период меняется.
Определения. \(T \gt 0\) — период функции \(f\), если \(f(x + T) = f(x)\) для всех \(x\) из области определения (вместе с \(x\) ей принадлежат \(x \pm T\)). Наименьшие положительные периоды: \(\sin x\), \(\cos x\) — \(2\pi\); \(\operatorname{tg} x\), \(\operatorname{ctg} x\) — \(\pi\). Период функции \(y = A\sin(kx + b) + c\) равен \(\dfrac{2\pi}{|k|}\), функции \(y = \operatorname{tg}(kx + b)\) — \(\dfrac{\pi}{|k|}\). Сдвиг \(b\) и растяжение \(A\) на период не влияют.
Как это работает. Найдём наименьший положительный период функции \(y = 3\cos\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 1\).
- Период косинуса \(2\pi\); аргумент умножен на 4, поэтому значения повторяются в 4 раза чаще.
- \(T = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\).
- Множитель 3, сдвиг \(-\dfrac{\pi}{3}\) и слагаемое 1 период не меняют. Ответ: \(\dfrac{\pi}{2}\).
Ещё пример. Функция \(f\) периодична с периодом 6, и \(f(1) = 4\). Найдите \(f(13) + f(-5)\).
Решение. \(13 = 1 + 2 \cdot 6\), поэтому \(f(13) = f(1) = 4\); \(-5 = 1 - 6\), поэтому \(f(-5) = f(1) = 4\). Сумма 8. Ответ: 8.
Лайфхак. Если период \(T\) известен, значение в любой точке сводят к значению на одном отрезке длины \(T\): из аргумента вычитают (или прибавляют) нужное число периодов. Для \(\sin 1000^\circ\): \(1000 - 2 \cdot 360 = 280\), \(\sin 1000^\circ = \sin 280^\circ\).
Типичная ошибка. Умножают период на \(k\) вместо деления: для \(\sin 4x\) пишут \(T = 8\pi\). Чем больше \(k\), тем быстрее повторяется функция — период меньше.
На ЕГЭ. Период нужен при отборе корней в задании 14 (через сколько повторяются корни серии) и при подсчёте числа корней уравнения на отрезке: на отрезке длины \(2\pi\) уравнение \(\sin x = a\) при \(|a| \lt 1\) имеет ровно два корня.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward