Обратная функция
Если функция каждое своё значение принимает ровно один раз (например, монотонна), то соответствие можно «обратить»: по значению \(y\) однозначно найти \(x\). Так получается обратная функция. Её график — отражение исходного графика относительно прямой \(y = x\).
Правило. Чтобы найти обратную функцию: 1) выразить \(x\) через \(y\) из уравнения \(y = f(x)\); 2) переобозначить переменные. Область определения обратной функции — множество значений исходной, и наоборот. Пары взаимно обратных функций: \(x^2\) (при \(x \ge 0\)) и \(\sqrt x\); \(x^3\) и \(\sqrt[3]{x}\); \(a^x\) и \(\log_a x\); \(\sin x\) на \(\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]\) и \(\arcsin x\). Для них \(f(g(x)) = x\).
Как это работает. Найдём функцию, обратную к \(f(x) = 3x - 6\).
- Записываем \(y = 3x - 6\) и выражаем \(x\): \(3x = y + 6\), \(x = \dfrac{y + 6}{3}\).
- Меняем переменные местами: \(y = \dfrac{x + 6}{3} = \dfrac{x}{3} + 2\).
- Проверка: \(f(g(x)) = 3\left(\dfrac{x}{3} + 2\right) - 6 = x\). Ответ: \(g(x) = \dfrac{x}{3} + 2\).
Ещё пример. Найдите функцию, обратную к \(y = 2^{x} + 1\), и её область определения.
Решение. \(2^x = y - 1\), \(x = \log_2(y - 1)\); обратная функция \(y = \log_2(x - 1)\), определена при \(x \gt 1\) — это множество значений исходной функции. Ответ: \(y = \log_2(x - 1)\), \(D = (1; +\infty)\).
Лайфхак. Точка \((a; b)\) лежит на графике \(f\) тогда и только тогда, когда точка \((b; a)\) лежит на графике обратной функции. Поэтому графики \(y = 2^x\) и \(y = \log_2 x\) симметричны относительно прямой \(y = x\): точка \((3; 8)\) переходит в \((8; 3)\).
Типичная ошибка. Пишут обратную функцию к \(y = x^2\) как \(y = \sqrt x\) без указания, что исходная рассматривается при \(x \ge 0\). На всей прямой \(x^2\) не монотонна и обратной функции не имеет: значению 4 отвечают два аргумента.
На ЕГЭ. Понятие обратной функции стоит за формулами \(\log_a a^x = x\), \(a^{\log_a x} = x\), \(\sin(\arcsin a) = a\), которыми пользуются в заданиях 7, 8 и 14. Взаимная обратность показательной и логарифмической функций объясняет симметрию их графиков в задании 12.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward