Преобразования графиков

График сложной формулы часто получается из известного графика несколькими простыми движениями: сдвигом, отражением, растяжением. Зная правила, можно нарисовать \(y = -2\sqrt{x + 3} + 1\), не вычисляя ни одной точки, кроме опорных.

Как это работает. Опишем, как из графика \(y = x^2\) получить график \(y = (x + 3)^2 - 2\), и укажем вершину параболы.

1. \(y = (x + 3)^2 = f(x - (-3))\): сдвиг влево на 3 (знак внутри скобки «обратный»: \(x + 3\) — влево).
2. Затем \(-2\): сдвиг вниз на 2.
3. Вершина переходит из \((0; 0)\) в \((-3; -2)\). Ответ: сдвиг влево на 3 и вниз на 2; вершина \((-3; -2)\).

Ещё пример. График функции \(y = \sqrt x\) сдвинули вправо на 1 и отразили относительно оси абсцисс. Запишите формулу полученной функции и её множество значений.
Решение. Сдвиг вправо на 1: \(y = \sqrt{x - 1}\); отражение: \(y = -\sqrt{x - 1}\). Значения неположительны: \(E = (-\infty; 0]\). Ответ: \(y = -\sqrt{x - 1}\); \((-\infty; 0]\).