Функция корня и степень с дробным показателем

Функция \(y = \sqrt{x}\) определена при \(x \ge 0\), возрастает, принимает значения \(y \ge 0\); её график — верхняя половина параболы \(x = y^2\), «лежащей на боку». Функция \(y = \sqrt[3]{x}\) определена на всей прямой, нечётна и возрастает. В общем случае \(y = \sqrt[n]{x}\) при чётном \(n\) определена для \(x \ge 0\), при нечётном — везде; график обратен графику \(y = x^n\) относительно прямой \(y = x\).

Степенная функция с дробным показателем \(y = x^{\dfrac{m}{n}}\) рассматривается при \(x \gt 0\) (или \(x \ge 0\)): при показателе больше 1 график похож на параболу и лежит ниже прямой \(y = x\) на \((0; 1)\); при показателе между 0 и 1 — похож на корень; при отрицательном показателе убывает и имеет асимптоты.

Пример. График функции \(f(x) = k\sqrt{x + b} + c\) начинается в точке \((-1; 2)\) и проходит через точку \((3; 6)\). Найдите \(f(8)\).
Решение. Начало графика — точка \((-b; c)\): \(b = 1\), \(c = 2\). Подставим \((3; 6)\): \(k\sqrt{4} + 2 = 6\), \(k = 2\). \(f(8) = 2\sqrt{9} + 2 = 8\).

Пример. Сравните \(0{,}5^{\dfrac13}\) и \(0{,}5^{\dfrac12}\).
Решение. Основание меньше 1, функция \(0{,}5^t\) убывает: больший показатель даёт меньшее число, поэтому \(0{,}5^{\dfrac13} \gt 0{,}5^{\dfrac12}\).