Линейная, квадратичная, степенная функции и гипербола
| Функция | График и свойства |
|---|---|
| \(y = kx + b\) | прямая; \(k\) — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), \(b\) — ордината точки пересечения с \(Oy\); при \(k \gt 0\) возрастает |
| \(y = ax^2 + bx + c\) | парабола; вершина \(x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}\), \(y_{\text{в}} = -\dfrac{D}{4a}\); ветви вверх при \(a \gt 0\); ось симметрии \(x = x_{\text{в}}\) |
| \(y = x^n\), \(n\) чётное | чётная, \(y \ge 0\), похожа на параболу, при больших \(n\) «прижата» к оси \(Ox\) на \((-1; 1)\) |
| \(y = x^n\), \(n\) нечётное | нечётная, возрастает на всей прямой, проходит через \((-1; -1)\), \((0; 0)\), \((1; 1)\) |
| \(y = \dfrac{k}{x}\) | гипербола, нечётная, асимптоты — оси координат; при \(k \gt 0\) ветви в I и III четвертях, при \(k \lt 0\) — во II и IV |
| \(y = x^{-n}\) | при чётном \(n\) — чётная, \(y \gt 0\); при нечётном — как гипербола |
График \(y = \dfrac{k}{x + a} + b\) — гипербола с асимптотами \(x = -a\) и \(y = b\), центр симметрии \((-a; b)\).
Пример. График \(f(x) = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \((2; 3)\). Найдите \(f(-12)\).
Решение. \(k = 2 \cdot 3 = 6\), \(f(-12) = -0{,}5\).
Пример. На графике \(y = ax^2 + bx + c\) видно: ветви вниз, вершина в точке \((1; 4)\), пересечение с \(Oy\) в точке \((0; 3)\). Найдите \(a\).
Решение. \(y = a(x - 1)^2 + 4\); при \(x = 0\): \(a + 4 = 3\), \(a = -1\).
Лайфхак. Знаки коэффициентов параболы читаются с графика: \(a\) — по направлению ветвей, \(c\) — по точке на оси \(Oy\), знак \(b\) — по положению вершины: \(x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}\), то есть при \(a \gt 0\) вершина справа от оси означает \(b \lt 0\).
Из истории. Слова «парабола», «гипербола» и «эллипс» дал этим кривым Аполлоний Пергский (III век до н. э.), изучая сечения конуса. Только в XVII веке Ферма и Декарт связали кривые с уравнениями.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward