Градусы, радианы и единичная окружность
В тригонометрии угол — это поворот. Точка \(P(1; 0)\) поворачивается вокруг начала координат на угол \(\alpha\): против часовой стрелки — положительный угол, по часовой — отрицательный. Полученная точка лежит на окружности радиуса 1 — единичной окружности. Её абсцисса — косинус угла, ордината — синус.
Определения. Если поворот на угол \(\alpha\) переводит точку \((1; 0)\) в точку \((x; y)\), то \(\cos\alpha = x\), \(\sin\alpha = y\). Отсюда \(-1 \le \sin\alpha \le 1\), \(-1 \le \cos\alpha \le 1\). Радианная мера: \(\pi\) радиан \(= 180^\circ\), поэтому \[1^\circ = \dfrac{\pi}{180}, \qquad \alpha^\circ = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180} \text{ рад}, \qquad x \text{ рад} = x \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}.\] Полный оборот \(2\pi\) возвращает точку на место: \(\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha\), \(\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha\).
Как это работает. Переведём \(135^\circ\) в радианы и найдём \(\sin\) и \(\cos\) угла \(\dfrac{3\pi}{2}\).
- \(135^\circ = 135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135}{180}\pi = \dfrac{3\pi}{4}\) (сократили на 45).
- Угол \(\dfrac{3\pi}{2}\) — три четверти оборота против часовой стрелки: точка \((1; 0)\) переходит в нижнюю точку окружности \((0; -1)\).
- Значит, \(\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0\), \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\). Ответ: \(\dfrac{3\pi}{4}\); 0 и \(-1\).
Ещё пример. Найдите \(\cos\dfrac{7\pi}{2}\).
Решение. \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi\): лишний полный оборот ничего не меняет, точка та же — \((0; -1)\). Ответ: 0.
Лайфхак. Чтобы понять, где лежит угол в радианах, замените \(\pi\) на 180: \(\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ\). Для отрицательного угла отсчитывайте по часовой стрелке: \(-\dfrac{\pi}{2}\) — нижняя точка \((0; -1)\).
Типичная ошибка. Путают координаты: косинус — первая координата (по горизонтали), синус — вторая (по вертикали). Запомнить помогает алфавит: «косинус» и «абсцисса» — на \(x\), «синус» и «ордината» — на \(y\).
На ЕГЭ. Окружность — главный инструмент отбора корней в задании 14: на ней отмечают точки серии решений и выбирают те, что попали в заданный отрезок. Без свободного перевода градусов в радианы это сделать невозможно.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward