Табличные значения синуса и косинуса
Для нескольких углов значения синуса и косинуса известны точно. Их получают из прямоугольных треугольников с углами \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) и нужно помнить наизусть: на них держится решение всех тригонометрических уравнений.
| \(\alpha\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\;(30^\circ)\) | \(\dfrac{\pi}{4}\;(45^\circ)\) | \(\dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)\) | \(\dfrac{\pi}{2}\;(90^\circ)\) | \(\pi\;(180^\circ)\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\;(270^\circ)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\alpha\) | 0 | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | 1 | 0 | \(-1\) |
| \(\cos\alpha\) | 1 | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | 0 | \(-1\) | 0 |
Как запомнить. Синусы углов \(0, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) — это \(\dfrac{\sqrt0}{2}, \dfrac{\sqrt1}{2}, \dfrac{\sqrt2}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{\sqrt4}{2}\). Косинусы — те же числа в обратном порядке. Малому углу — малый синус и большой косинус.
Как это работает. Найдём значение выражения \(4\sin\dfrac{\pi}{6} \cdot \cos\dfrac{\pi}{3} + 2\cos^2\dfrac{\pi}{4}\).
- Подставляем табличные значения: \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac12\), \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12\), \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
- Первое слагаемое: \(4 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac12 = 1\).
- Второе: \(\cos^2\dfrac{\pi}{4} = \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \dfrac24 = \dfrac12\), значит, \(2 \cdot \dfrac12 = 1\). Сумма \(1 + 1 = 2\). Ответ: 2.
Ещё пример. Найдите \(12\sqrt3 \cos 150^\circ\).
Решение. Угол \(150^\circ\) лежит во второй четверти, косинус там отрицателен, а по величине равен \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}\). Значит, \(12\sqrt3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = -\dfrac{12 \cdot 3}{2} = -18\). Ответ: \(-18\).
Лайфхак. Запись \(\sin^2\alpha\) означает \((\sin\alpha)^2\) — сначала синус, потом квадрат. Табличные квадраты: \(\sin^2 30^\circ = \dfrac14\), \(\sin^2 45^\circ = \dfrac12\), \(\sin^2 60^\circ = \dfrac34\); косинусы — наоборот.
На ЕГЭ. Задание 8 даёт выражения вида \(24\sqrt2 \cos\dfrac{\pi}{4}\) или \(\dfrac{14\sin 30^\circ}{\cos 60^\circ}\); ответ — число. В задании 14 табличные значения нужны, чтобы перейти от \(\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}\) к углам.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward