Знаки по четвертям и опорный угол

11 заданий

Оси координат делят окружность на четыре четверти. Знак синуса и косинуса зависит только от четверти, а величина — от «опорного» угла, который точка образует с горизонтальной осью. Так табличные значения распространяются на все углы.

Правило знаков. I четверть \(\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)\): \(\sin \gt 0\), \(\cos \gt 0\). II четверть \(\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\): \(\sin \gt 0\), \(\cos \lt 0\). III четверть \(\left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)\): \(\sin \lt 0\), \(\cos \lt 0\). IV четверть \(\left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)\): \(\sin \lt 0\), \(\cos \gt 0\). Синус положителен сверху от оси \(Ox\), косинус — справа от оси \(Oy\). Опорный угол — острый угол между радиусом точки и осью \(Ox\): для \(\dfrac{7\pi}{6}\) это \(\dfrac{\pi}{6}\), для \(\dfrac{5\pi}{4}\) — \(\dfrac{\pi}{4}\).

Как это работает. Найдём \(\sin\dfrac{7\pi}{6}\) и \(\cos\dfrac{5\pi}{3}\).

\(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\) — чуть больше развёрнутого угла, третья четверть: синус отрицателен. Опорный угол \(\dfrac{\pi}{6}\), значит, \(\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac12\).
\(\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}\) — четвёртая четверть: косинус положителен. Опорный угол \(\dfrac{\pi}{3}\), значит, \(\cos\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac12\).
Проверяем по картинке: точка для \(\dfrac{5\pi}{3}\) лежит справа внизу, абсцисса положительна. Ответ: \(-\dfrac12\) и \(\dfrac12\).

Ещё пример. Найдите \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) и \(\cos(-60^\circ)\).
Решение. Отрицательный угол отсчитывают по часовой стрелке — это четвёртая четверть. Синус там отрицателен: \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\). Косинус положителен: \(\cos(-60^\circ) = \dfrac12\). Это согласуется с чётностью: \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\), \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\).

Лайфхак. Чтобы найти четверть угла вида \(\dfrac{k\pi}{n}\), переведите в градусы и отнимайте 360, пока не попадёте в \([0; 360)\): \(\dfrac{17\pi}{6} = 510^\circ \to 150^\circ\) — вторая четверть, опорный угол \(30^\circ\), \(\sin\dfrac{17\pi}{6} = \dfrac12\).

Типичная ошибка. Считают, что \(\sin(\pi + \alpha) = \sin\alpha\) «потому что период». Период синуса равен \(2\pi\), а не \(\pi\): \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\).

На ЕГЭ. В задании 8 встречаются условия «\(\sin\alpha = -\dfrac{3}{5}\), \(\alpha \in \left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)\), найдите \(\cos\alpha\)» — четверть указана именно для выбора знака ответа.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward