Основное тригонометрическое тождество
Точка единичной окружности \((\cos\alpha; \sin\alpha)\) удалена от начала координат на 1. По теореме Пифагора сумма квадратов её координат равна 1 — это и есть основное тождество, из которого выводят все остальные.
Формула. \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha.\] Зная одну из функций и четверть, находят другую: модуль — из тождества, знак — по четверти.
Как это работает. Найдите \(\cos\alpha\), если \(\sin\alpha = -\dfrac{5}{13}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)\).
- Из тождества: \(\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\), поэтому \(|\cos\alpha| = \dfrac{12}{13}\).
- Определяем знак: четвёртая четверть, косинус положителен.
- \(\cos\alpha = \dfrac{12}{13}\). Ответ: \(\dfrac{12}{13}\).
Ещё пример. Найдите значение выражения \(5\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha - 3\).
Решение. Выносим 5: \(5(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 3 = 5 \cdot 1 - 3 = 2\). Значение не зависит от угла. Ответ: 2.
Лайфхак. Пары «синус — косинус» для углов с рациональными значениями — это пифагоровы тройки, делённые на гипотенузу: \(\dfrac35\) и \(\dfrac45\), \(\dfrac{5}{13}\) и \(\dfrac{12}{13}\), \(\dfrac{8}{17}\) и \(\dfrac{15}{17}\), \(\dfrac{7}{25}\) и \(\dfrac{24}{25}\). Увидев \(\sin\alpha = 0{,}6\), сразу пишите \(|\cos\alpha| = 0{,}8\).
Типичная ошибка. Забывают про знак и пишут \(\cos\alpha = \dfrac{12}{13}\) без проверки четверти. Если бы угол лежал во второй или третьей четверти, ответ был бы \(-\dfrac{12}{13}\). Четверть в условии дана не случайно.
На ЕГЭ. Задание 8: «Найдите \(\cos\alpha\), если \(\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{21}}{5}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\)». Ответ \(-0{,}4\). В задании 14 тождество превращает уравнение с синусом и косинусом в квадратное относительно одной функции.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward