Тангенс и котангенс

График тангенса (тангенсоида) состоит из одинаковых ветвей между вертикальными асимптотами \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\); функция нечётна, нули — \(x = \pi k\), экстремумов нет. Котангенс — тоже нечётная функция с асимптотами \(x = \pi k\). Тангенс и котангенс не ограничены.

Пример. Найдите область определения функции \(y = \operatorname{tg} 2x\).
Решение. \(2x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), то есть \(x \ne \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}\).

Пример. Сколько корней имеет уравнение \(\operatorname{tg} x = x\) на отрезке \([0; 2\pi]\)?
Решение. На каждой ветви тангенс проходит все значения от \(-\infty\) до \(+\infty\), а прямая \(y = x\) пересекает ветвь один раз (кроме первой ветви, где единственная общая точка — \(x = 0\)). На \([0; 2\pi]\) — три ветви, значит, три корня: \(0\), корень на \(\left(\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right)\) и корень на \(\left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right]\).