Тангенс и котангенс

11 заданий

Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — обратное отношение. Тангенс определён, когда косинус не равен нулю, то есть при \(\alpha \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k\); котангенс — когда синус не равен нулю, при \(\alpha \ne \pi k\).

Формулы. \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1,\] \[1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}.\] Таблица: \(\operatorname{tg} 0 = 0\), \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{3}\), \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1\), \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt3\); \(\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}\) не существует. Знаки: тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV.

Как это работает. Найдите \(\operatorname{tg}\alpha\), если \(\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{10}}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\).

Используем \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 10\), откуда \(\operatorname{tg}^2\alpha = 9\), \(|\operatorname{tg}\alpha| = 3\).
Вторая четверть: синус положителен, косинус отрицателен, значит, тангенс отрицателен.
\(\operatorname{tg}\alpha = -3\). Ответ: \(-3\).

Ещё пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{4\sin\alpha + 3\cos\alpha}{2\cos\alpha}\), если \(\operatorname{tg}\alpha = 3\).
Решение. Делим числитель почленно на \(\cos\alpha\): \(\dfrac{4\operatorname{tg}\alpha + 3}{2} = \dfrac{12 + 3}{2} = 7{,}5\). Ответ: 7,5.

Разбор заданий ЕГЭ

Задача 1 (задание 8). Найдите \(\operatorname{tg}\alpha\), если \(\sin\alpha = 0{,}6\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\).

Сначала косинус: \(\cos^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\), \(\cos\alpha = \pm 0{,}8\). Вторая четверть — косинус отрицателен: \(\cos\alpha = -0{,}8\).
Тангенс — отношение синуса к косинусу: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{0{,}6}{-0{,}8} = -0{,}75\).

Ответ: \(-0{,}75\).

Задача 2 (задание 8). Найдите значение выражения \(\dfrac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\), если \(\operatorname{tg}\alpha = 4\).

Дан тангенс — делим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\) (он не равен нулю, иначе тангенса не было бы): \(\dfrac{3\operatorname{tg}\alpha - 2}{\operatorname{tg}\alpha + 1}\).
Подставляем: \(\dfrac{3 \cdot 4 - 2}{4 + 1} = \dfrac{10}{5} = 2\).

Ответ: 2.

Лайфхак. Дробь, в которой числитель и знаменатель — линейные выражения от \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\), делите на \(\cos\alpha\) (или \(\sin\alpha\)): она превращается в выражение от одного тангенса (котангенса).

Типичная ошибка. «\(\operatorname{tg}\alpha = 3\), значит, \(\sin\alpha = 3\)». Тангенс может быть любым числом, а синус — только от \(-1\) до 1. Тангенс — это отношение, а не координата.

На ЕГЭ. Задание 8: «Найдите \(\operatorname{tg}\alpha\), если \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}\), \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)\)» — ответ \(-3\); «Найдите \(\dfrac{12\sin\alpha}{5\cos\alpha}\), если \(\operatorname{tg}\alpha = 5\)» — ответ 12.

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward