Иррациональные уравнения: возведение в квадрат

Основной приём — возведение обеих частей в квадрат. Оно может дать посторонние корни, поэтому пользуются равносильным переходом:

\[\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}\]

Условие \(f(x) \ge 0\) отдельно проверять не нужно: оно выполнено автоматически, ведь \(f = g^2\). Уравнение \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(f(x) = g(x)\), \(g(x) \ge 0\). Уравнение \(\sqrt[3]{f(x)} = g(x)\) равносильно \(f(x) = g^3(x)\) без всяких условий.

Пример. Решите уравнение \(\sqrt{2x + 8} = x\).
Решение. При \(x \ge 0\): \(2x + 8 = x^2\), \(x^2 - 2x - 8 = 0\), \(x = 4\) или \(x = -2\). Условию \(x \ge 0\) удовлетворяет только \(x = 4\).

Пример. Решите уравнение \(\sqrt{15 - 2x} = 3\).
Решение. Правая часть положительна, возводим: \(15 - 2x = 9\), \(x = 3\).

Пример. Решите уравнение \(\sqrt{x + 7} = \sqrt{2x - 1}\).
Решение. \(x + 7 = 2x - 1\), \(x = 8\); проверяем \(2x - 1 = 15 \ge 0\). Ответ: 8.