Замена переменной и уравнения с двумя корнями

Если в уравнении корень встречается несколько раз, вводят новую переменную \(t = \sqrt{f(x)} \ge 0\).

Пример. Решите уравнение \(x - 5\sqrt{x} + 6 = 0\).
Решение. \(t = \sqrt{x} \ge 0\): \(t^2 - 5t + 6 = 0\), \(t = 2\) или \(t = 3\), откуда \(x = 4\) или \(x = 9\).

Уравнение с двумя корнями \(\sqrt{f} + \sqrt{g} = h\) решают уединением корня и двукратным возведением в квадрат, проверяя найденные корни подстановкой, или заменой обоих корней.

Пример. Решите уравнение \(\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1\).
Решение. \(\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}\); возводим в квадрат (обе части неотрицательны): \(x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x\), \(\sqrt{x} = 2\), \(x = 4\). Проверка: \(\sqrt9 - \sqrt4 = 1\).

Пример. Решите уравнение \(\sqrt{x^2 - 3x + 3} + \sqrt{x^2 - 3x + 6} = 3\).
Решение. Пусть \(u = x^2 - 3x + 3\); тогда \(\sqrt{u} + \sqrt{u + 3} = 3\), \(\sqrt{u + 3} = 3 - \sqrt{u}\), \(u + 3 = 9 - 6\sqrt{u} + u\), \(\sqrt u = 1\), \(u = 1\). Остаётся \(x^2 - 3x + 2 = 0\): \(x = 1\) или \(x = 2\).