Комбинаторика в задачах на вероятность

12 заданий

Классическая вероятность — отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных. Когда исходов много, их считают комбинаторикой: оба числа — сочетания или размещения, и важно считать их одним и тем же способом.

Схема. \[P(A) = \dfrac{m}{n}: \quad n = C_N^k \text{ (всего способов выбрать } k \text{ из } N), \quad m = C_{N_1}^{k_1} \cdot C_{N_2}^{k_2} \text{ (благоприятные: выбрать нужные из каждой группы)}.\] Правило одного способа: если \(n\) посчитано сочетаниями, то и \(m\) — сочетаниями. Для «хотя бы один» удобнее противоположное событие: \(P = 1 - P(\text{ни одного})\).

Как это работает. В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найдём вероятность того, что оба белые, и вероятность того, что шары разного цвета.

Всего способов: \(C_8^2 = 28\).
Оба белые: \(C_5^2 = 10\); \(P = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}\).
Разного цвета: \(C_5^1 \cdot C_3^1 = 15\); \(P = \dfrac{15}{28}\). Проверка: оба чёрные \(C_3^2 = 3\); \(10 + 15 + 3 = 28\). Ответ: \(\dfrac{5}{14}\); \(\dfrac{15}{28}\).

Ещё пример. Из колоды в 36 карт вынимают 2. Какова вероятность, что хотя бы одна из них — туз?
Решение. Противоположное событие — ни одного туза: \(\dfrac{C_{32}^2}{C_{36}^2} = \dfrac{496}{630} = \dfrac{248}{315}\). Искомая вероятность \(1 - \dfrac{248}{315} = \dfrac{67}{315}\). Ответ: \(\dfrac{67}{315}\).

Лайфхак. Задачи о последовательном вынимании часто проще решать по шагам: вероятность первого белого \(\dfrac58\), второго белого при первом белом \(\dfrac47\), произведение \(\dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}\) — тот же ответ, что через сочетания.

Типичная ошибка. Считают благоприятные исходы с учётом порядка, а все исходы — без, или наоборот. Способ подсчёта должен быть один и тот же в числителе и знаменателе.

На ЕГЭ. Задание 4: шары, карты, лампочки, жеребьёвка команд — всё решается схемой \(\dfrac{m}{n}\) с сочетаниями или пошаговым умножением вероятностей. Ответ — десятичная дробь, поэтому числа подобраны «удобно»: \(\dfrac{5}{14}\) на ЕГЭ не встретится, а \(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\) — да.

Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward