Сочетания
Сочетания — способы выбрать \(k\) предметов из \(n\), когда порядок выбора не важен: состав команды, набор карт, пара точек. Из размещений сочетания получают делением на \(k!\) — число способов упорядочить выбранную группу.
Формулы. \[C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}, \qquad C_n^k = C_n^{n - k}, \qquad C_n^0 = C_n^n = 1, \qquad C_n^1 = n, \qquad C_n^2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}.\] Треугольник Паскаля: \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\). Сумма \(C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n\) — число всех подмножеств.
Как это работает. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из 10 учеников? Сколько рукопожатий происходит, когда 10 человек здороваются друг с другом?
- Группа дежурных — порядок не важен: \(C_{10}^3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120\).
- Рукопожатие — пара людей: \(C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45\).
- Ответ: 120; 45.
Ещё пример. Вычислите \(C_{12}^{10}\).
Решение. По симметрии \(C_{12}^{10} = C_{12}^2 = \dfrac{12 \cdot 11}{2} = 66\). Ответ: 66.
Лайфхак. Считайте \(C_n^k\) дробью из \(k\) убывающих множителей сверху и \(k!\) снизу: \(C_{10}^3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3}\), сокращайте до умножения. Если \(k \gt \dfrac n2\), переходите к \(C_n^{n - k}\).
Типичная ошибка. Забывают разделить на \(k!\) и получают размещения вместо сочетаний: для выбора 3 дежурных пишут \(720\) вместо \(120\). Если выбранные объекты равноправны — делить обязательно.
На ЕГЭ. Задание 4: «Из 8 лампочек 2 неисправны; выбирают 2 наугад — вероятность, что обе исправны» — \(\dfrac{C_6^2}{C_8^2} = \dfrac{15}{28}\). Задание 20: число пар, троек, отрезков с концами в данных точках — сочетания.
Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward