Перестановки и размещения
Если важен порядок, считают перестановки и размещения. Перестановки — все способы расставить \(n\) предметов в ряд; размещения — способы выбрать \(k\) предметов из \(n\) и расставить их по порядку.
Формулы. \[P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n, \qquad A_n^k = n(n - 1) \cdots (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n - k)!}.\] \(0! = 1\), \(1! = 1\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\), \(6! = 720\), \(7! = 5040\). Размещение — это \(k\) последовательных выборов без возвращения: правило умножения с убывающими множителями.
Как это работает. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке? Сколькими способами из 8 участников можно выбрать победителя, второго и третьего призёра?
- Расстановка 5 книг — перестановка: \(5! = 120\).
- Три призовых места из 8 — размещение (порядок важен): \(A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\).
- Ответ: 120; 336.
Ещё пример. Сколько различных «слов» (любых последовательностей букв) можно составить, переставляя буквы слова КНИГА? А слова МАМА?
Решение. КНИГА — 5 различных букв: \(5! = 120\). МАМА — буквы повторяются: \(\dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6\) (делим на перестановки одинаковых букв). Ответ: 120; 6.
Лайфхак. Размещения считайте «пустыми клетками»: нарисуйте \(k\) клеток и впишите в них число кандидатов на каждое место — \(8, 7, 6\). Перемножьте. Формула с факториалами нужна лишь для записи, считать удобнее клетками.
Типичная ошибка. Для задачи «выбрать 3 призёров» используют \(C_8^3 = 56\) (сочетания), хотя места различаются. Если важно, кто на каком месте, — размещения; если нужна только группа — сочетания (следующий урок).
На ЕГЭ. В задании 4: «В чемпионате участвуют 20 команд, жребием распределяют по группам» — число исходов через размещения или сочетания. Факториалы до \(7!\) полезно помнить для быстрого счёта.
Закрепите теорию: 12 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.
Пройти урок arrow_forward