Правило умножения и правило сложения

11 заданий

Комбинаторика считает, сколькими способами можно что-то сделать, не перечисляя варианты. Два основных правила: если выбор состоит из последовательных шагов, числа вариантов перемножают; если из взаимоисключающих случаев — складывают.

Правила. Умножение: если первый шаг можно сделать \(m\) способами, а второй — \(n\) способами независимо от первого, то оба шага — \(mn\) способами. Сложение: если объект можно выбрать либо из \(m\) объектов одного типа, либо из \(n\) другого, то всего \(m + n\) способов. Число \(k\)-значных кодов из \(n\) символов с повторениями — \(n^k\). Дерево вариантов — рисунок всех путей выбора.

Как это работает. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр \(0, 1, 2, 3, 4, 5\), если цифры могут повторяться? А если все цифры различны?

С повторениями: первая цифра не нуль — 5 способов; каждая из остальных трёх — 6 способов. Всего \(5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1080\).
Без повторений: первая — 5 способов (не нуль), вторая — 5 (любая из оставшихся, включая нуль), третья — 4, четвёртая — 3. Всего \(5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300\).
Ответ: 1080; 300.

Ещё пример. В меню 3 супа, 4 вторых блюда и 2 десерта. Сколькими способами можно составить обед из супа, второго и десерта? Сколькими способами можно выбрать одно блюдо?
Решение. Обед из трёх блюд: \(3 \cdot 4 \cdot 2 = 24\). Одно блюдо: \(3 + 4 + 2 = 9\). Ответ: 24; 9.

Лайфхак. Начинайте подсчёт с самого «ограниченного» места: в числах — с первой цифры (не нуль), в задачах «чётное число» — с последней цифры. Тогда число вариантов на каждом шаге не зависит от предыдущих выборов, и правило умножения работает без оговорок.

Типичная ошибка. Складывают там, где нужно умножать: «3 рубашки и 4 галстука — 7 комплектов». Каждая рубашка сочетается с каждым галстуком: \(3 \cdot 4 = 12\).

На ЕГЭ. Правило умножения — основа подсчёта равновозможных исходов в задании 4: «монету бросают 3 раза — всего \(2^3 = 8\) исходов». В задании 20 оно даёт число вариантов для оценки «не больше чем».

Закрепите теорию: 11 заданий с проверкой и подсказками, урок зачитывается от 70 %.

Пройти урок arrow_forward